Sabtu, 07 November 2009

momentum sudut dan rotasi benda tegar

>Momen gaya dan momen inersia
momen gaya:

Momen inersia (satuan SI kg m2) adalah ukuran ketahanan objek terhadap perubahan laju rotasinya. Besaran ini adalah analog rotasi daripada massa. Dengan kata lain, besaran ini adalah kelembaman sebuah benda tegar yang berputar terhadap rotasinya. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa dalam dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran lain. Meskipun pembahasan skalar terhadap momen inersia, pembahasan menggunakan pendekatan tensor memungkinkan analisis sistem yang lebih rumit seperti gerakan giroskopik.

Lambang I dan kadang-kadang juga J biasanya digunakan untuk merujuk kepada momen inersia.

Konsep ini diperkenalkan oleh Euler dalam bukunya a Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum pada tahun 1730.

Definisi sederhana momen inersia (terhadap sumbu rotasi tertentu) dari sembarang objek, baik massa titik atau struktur tiga dimensi, diberikan oleh rumus:

I = \int r^2 \,dm\,\!

di mana m adalah massa dan r adalah jarak tegak lurus terhadap sumbu rotasi.

Analisis

Momen inersia (skalar) sebuah massa titik yang berputar pada sumbu yang diketahui didefinisikan oleh

I \triangleq  m r^2\,\!

Momen inersia adalah aditif. Jadi, untuk sebuah benda tegar yang terdiri atas N massa titik mi dengan jarak ri terhadap sumbu rotasi, momen inersia total sama dengan jumlah momen inersia semua massa titik:

I \triangleq  \sum_{i=1}^{N} {m_{i} r_{i}^2}\,\!

Untuk benda pejal yang dideskripsikan oleh fungsi kerapatan massa ρ(r), momen inersia terhadap sumbu tertentu dapat dihitung dengan mengintegralkan kuadrat jarak terhadap sumbu rotasi, dikalikan dengan kerapatan massa pada suatu titik di benda tersebut:

I \triangleq   \iiint_V \|\mathbf{r}\|^2 \,\rho(\mathbf{r})\,dV \!

di mana

V adalah volume yang ditempati objek
ρ adalah fungsi kerapatan spasial objek
r = (r,θ,φ), (x,y,z), atau (r,θ,z) adalah vektor (tegaklurus terhadap sumbu rotasi) antara sumbu rotasi dan titik di benda tersebut.
Diagram perhitungan momen inersia sebuah piringan. Di sini k adalah 1/2 dan \mathbf{r} adalah jari-jari yang digunakan untuk menentukan momen inersia

Berdasarkan analisis dimensi saja, momen inersia sebuah objek bukan titik haruslah mengambil bentuk:

 I = k\cdot M\cdot {R}^2 \,\!

di mana

M adalah massa
R adalah jari-jari objek dari pusat massa (dalam beberapa kasus, panjang objek yang digunakan)
k adalah konstanta tidak berdimensi yang dinamakan "konstanta inersia", yang berbeda-beda tergantung pada objek terkait.

Konstanta inersia digunakan untuk memperhitungkan perbedaan letak massa dari pusat rotasi. Contoh:


  • k = 1, cincin tipis atau silinder tipis di sekeliling pusat
  • k = 2/5, bola pejal di sekitar pusat
  • k = 1/2, silinder atau piringan pejal di sekitar pusat.

Lebih lanjut lihat daftar momen inersia

>momen gaya

Pada gerak lurus atau gerak translasi, faktor yang menyebabkan adanya gerak adalah gaya (F). Sedangkan pada gerak rotasi atau gerak melingkar, selain gaya (F), ada faktor lain yang menyebabkan benda itu bergerak rotasi yaitu lengan gaya (l) yang tegak lurus dengan gaya.

Secara matematis, momen gaya dirumuskan

τ = F x l

τ = F . l

Jika antara lengan gaya l dan gaya F tidak tegak lurus maka

τ = F . l sin θ

dimana θ adalah sudut antara lengan gaya l dengan gaya F.

Lengan gaya merupakan jarak antara titik tumpuan atau poros ke titik dimana gaya itu bekerja. Jika gaya dikenakan berada di ujung lengan maka bisa kita katakan lengan gaya ( l ) sama dengan jari-jari lingkaran (r).

Sehingga momen gaya dapat juga kita tulis

τ = F . r

>gerak rotasi

adalah perputaran benda pada suatu sumbu yang tetap, misalnya perputaran gasing dan perputaran bumi pada poros/sumbunya. Untuk bumi, rotasi ini terjadi pada garis/poros/sumbu utara-selatan (garis tegak dan sedikit miring ke kanan). Jadi garis utara-selatan bumi tidak berimpit dengan sumbu rotasi bumi, seperti yang terlihat pada "globe bola dunia" yang digunakan dalam pelajaran ilmu bumi/geografi. Kecepatan putaran ini diukur oleh banyaknya putaran per satuan waktu. Misalnya bumi kita berputar 1 putaran per 24 jam. Untuk rotasi mesin yang berputar lebih cepat dari rotasi bumi, kita pakai satuan rotasi per menit (rpm).

Akibat dari gerak rotasi ini, maka benda tersebut akan mengalami gaya sentrifugal, yaitu jenis gaya dalam ilmu fisika yang mengakibatkan benda akan terlempar keluar. Hal ini akan nampak terasa pada saat kita naik mobil yang melewati tikungan melingkar. Pada saat mobil ini bergerak melingkar dengan kecepatan agak tinggi, maka penumpang dalam mobil akan merasa terlempar ke samping (ke sisi luar lingkaran itu) sebagai akibat dari adanya gaya sentrifugal.

>hukum kekekalan momentum sudut

Momentum sudut yang telah kita pelajari sebelumnya, merupakan konsep yang penting dalam fisika. Momentum sudut merupakan dasar dari hukum kekekalan momentum sudut. btw, hukum itu berbeda dengan prinsip. Dalam fluida, kita mengenal prinsip archimedes, prinsip pascal dkk. Prinsip itu hanya berlaku untuk kondisi tertentu saja. Hukum itu berlaku universal alias umum.

Hukum Kekekalan Momentum Sudut menyatakan bahwa :

Jika Torsi total yang bekerja pada sebuah benda tegar = 0, maka momentum sudut benda tegar yang berotasi bernilai konstan.

Hukum kekekalan momentum sudut ini merupakan salah satu hukum kekekalan yang penting dalam fisika. Secara matematis, pernyataan Hukum Kekekalan momentum Sudut di atas bisa dibuktikan dengan mengoprek persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi versi momentum.

momentum-sudut-g1

Keterangan :

momentum-sudut-h

Penerapan Kekekalan Momentum Sudut

Kekekalan momentum sudut ini biasa digunakan oleh pemain akrobat, penyelam atau penerjun, penari balet, pemain ice skating, kucing dkk



Momen Inersia Benda Tegar

Secara umum, Momen Inersia setiap benda tegar bisa dinyatakan sebagai berikut :

momen-inersia-h

Benda tegar bisa kita anggap tersusun dari banyak partikel yang tersebar di seluruh bagian benda itu. Setiap partikel-partikel itu punya massa dan tentu saja memiliki jarak r dari sumbu rotasi. jadi momen inersia dari setiap benda merupakan jumlah total momen inersia setiap partikel yang menyusun benda itu.

Ini cuma persamaan umum saja. Bagaimanapun untuk menentukan Momen Inersia suatu benda tegar, kita perlu meninjau benda tegar itu ketika ia berotasi. Walaupun bentuk dan ukuran dua benda sama, tetapi jika kedua benda itu berotasi pada sumbu alias poros yang berbeda, maka Momen Inersia-nya juga berbeda.

momen-inersia-0

Ini contoh sebuah benda tegar. Benda-benda tegar bisa dianggap tersusun dari partikel-partikel. Pada gambar, partikel diwakili oleh titik berwarna hitam. Jarak setiap partikel ke sumbu rotasi berbeda-beda


Lingkaran tipis dengan jari-jari R dan bermassa M (sumbu rotasi terletak pada pusat)

momen-inersia-1

Lingkaran tipis ini mirip seperti cincin tapi cincin lebih tebal. Jadi semua partikel yang menyusun lingkaran tipis berada pada jarak r dari sumbu rotasi. Momen inersia lingkaran tipis ini sama dengan jumlah total momen inersia semua partikel yang tersebar di seluruh bagian lingkaran tipis.

Momen Inersia lingkaran tipis yang berotasi seperti tampak pada gambar di atas, bisa diturunkan sebagai berikut :

momen-inersia-1b

Perhatikan gambar di atas. Setiap partikel pada lingkaran tipis berada pada jarak r dari sumbu rotasi. dengan demikian : r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = R

I = MR2

Ini persamaan momen inersia-nya.


Contoh soal :



Sebuah partikel bermassa 2 kg diikatkan pada seutas tali yang panjangnya 0,5 meter (lihat gambar di bawah). Berapa momen Inersia partikel tersebut jika diputar ?

momen-inersia-13


Momen inersianya berapa-kah ?

I = mr2

I = (2 kg) (0,5m)2

I = 0,5 kg m2